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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 6 - Integrales

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6.3. Usando el método de sustitución, calcular las siguientes integrales:
g) ∫2ex−10ex−5xdx\int \frac{2 e^{x}-10}{e^{x}-5 x} d x

Respuesta

Vamos a resolver la integral: ∫2ex−10ex−5xdx\int \frac{2e^{x} - 10}{e^{x} - 5x} dx Tomamos la sustitución: u=ex−5xu = e^{x} - 5x
Calculamos dudu du=(ex−5)dxdu = (e^{x} - 5) dx

Ahora atenti acá. ¿Nos aparece esto en nuestra integral original? Siiii, mirá, simplemente sacando factor común en el numerador nos queda...

∫2ex−10ex−5xdx= ∫2⋅(ex−5)ex−5xdx\int \frac{2e^{x} - 10}{e^{x} - 5x} dx = \int \frac{2 \cdot (e^{x} - 5)}{e^{x} - 5x} dx 

¡Y ahí está el dudu! Si escribimos nuestra integral en términos de uu nos queda...
 ∫2⋅(ex−5)ex−5xdx =∫2u⋅du= 2∫1udu \int \frac{2 \cdot (e^{x} - 5)}{e^{x} - 5x} dx = \int \frac{2}{u} \cdot du = 2 \int \frac{1}{u} du
Y ahora integramos por tabla :) 2∫1udu=2ln⁡∣u∣+C2 \int \frac{1}{u} du = 2 \ln|u| + C Finalmente, reemplazamos uu con ex−5xe^x - 5x para obtener la integral en términos de xx: 2ln⁡∣u∣+C=2ln⁡∣ex−5x∣+C2 \ln|u| + C = 2 \ln|e^{x} - 5x| + C Y esta es la solución :) ∫2ex−10ex−5xdx=2ln⁡∣ex−5x∣+C\int \frac{2e^{x} - 10}{e^{x} - 5x} dx = 2 \ln|e^{x} - 5x| + C
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