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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
6.3.
Usando el método de sustitución, calcular las siguientes integrales:
g) $\int \frac{2 e^{x}-10}{e^{x}-5 x} d x$
g) $\int \frac{2 e^{x}-10}{e^{x}-5 x} d x$
Respuesta
Vamos a resolver la integral:
$\int \frac{2e^{x} - 10}{e^{x} - 5x} dx$
Tomamos la sustitución:
$u = e^{x} - 5x$
Reportar problema
Calculamos $du$
$du = (e^{x} - 5) dx$
Ahora atenti acá. ¿Nos aparece esto en nuestra integral original? Siiii, mirá, simplemente sacando factor común en el numerador nos queda...
$\int \frac{2e^{x} - 10}{e^{x} - 5x} dx = \int \frac{2 \cdot (e^{x} - 5)}{e^{x} - 5x} dx$
¡Y ahí está el $du$! Si escribimos nuestra integral en términos de $u$ nos queda...
$ \int \frac{2 \cdot (e^{x} - 5)}{e^{x} - 5x} dx = \int \frac{2}{u} \cdot du = 2 \int \frac{1}{u} du$
Y ahora integramos por tabla :)
$2 \int \frac{1}{u} du = 2 \ln|u| + C$
Finalmente, reemplazamos $u$ con $e^x - 5x$ para obtener la integral en términos de $x$:
$2 \ln|u| + C = 2 \ln|e^{x} - 5x| + C$
Y esta es la solución :)
$\int \frac{2e^{x} - 10}{e^{x} - 5x} dx = 2 \ln|e^{x} - 5x| + C$